Modifica di Quaternioni

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[[File:Quaternion.jpg|upright=1.4|thumb|[[Frattale]] costruito come [[insieme di Julia]], definito con i quaternioni. Chiaro, no?]]

In [[matematica]], i '''quaternioni''' sono entità introdotte da [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]] come estensioni dei [[numeri complessi]].

Un quaternione è un oggetto formale del tipo
:<math>a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k</math>
dove <math>a,b,c,d</math> sono numeri reali e <math>\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k</math> sono dei simboli che si comportano in modo simile all'[[unità immaginaria]] dei numeri complessi. Chiaro, no?

I quaternioni formano un [[corpo (matematica)|corpo]]: soddisfano quindi tutte le proprietà usuali dei [[campo (matematica)|campi]], quali i [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]], tranne la [[proprietà commutativa]] del prodotto. Le estensioni dei quaternioni, quali gli [[Ottetto (matematica)|ottetti]] e i [[Sedenione|sedenioni]], non hanno neppure la [[proprietà associativa]].

I quaternioni contengono i numeri complessi <math>a+b\mathbf i</math> e formano anche uno [[spazio vettoriale reale]] di [[dimensione di Hamel|dimensione]] 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio a 2 dimensioni, cioè un piano). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di [[algebra di divisione]] non [[Algebra commutativa|commutativa]].

I quaternioni trovano un'importante applicazione nella modellizzazione delle [[Rotazioni spaziali con i quaternioni|rotazioni dello spazio]]: per questo motivo questi sono ampiamente usati nella [[fisica teorica]] (nella [[teoria della relatività]] e nella [[meccanica quantistica]]) e in settori più applicati, come la [[computer grafica 3D]] e la [[robotica]] (per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi).

Analogamente all'[[analisi complessa]] e allo studio delle [[Funzione olomorfa|funzioni olomorfe]] di variabile complessa, raccoglie un interesse crescente l'[[analisi ipercomplessa]] e lo studio delle [[Analisi quaternionica|funzioni "regolari" di variabile quaternionica]].<ref>https://scholar.google.it/scholar?q=quaternionic+regular+functions&hl=it&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart&sa=X&ei=cRAsU_bGKcLV0QXM04C4CQ&ved=0CC0QgQMwAA</ref><ref>Graziano Gentili, Catarina Stoppato & D.C. Struppa (2013) ''Regular Functions of a Quaternionic Variable'', Birkhäuser, ISBN 978-3-642-33870-0</ref>

== Storia ==
[[File:William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg|upright=1.4|thumb|Sul ''[[Broom Bridge]]'' c'è ora una lapide che recita:<br /><div align="center">«Here as he walked by<br />on the 16th of October 1843<br />Sir William Rowan Hamilton<br />in a flash of genius discovered<br />the fundamental formula for<br />quaternion multiplication<br />i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = i j k = −1<br />& cut it on a stone of this bridge.»</div><br />(''Mentre qui passeggiava, il 16 ottobre 1843 Sir William Rowan Hamilton, in un lampo d'ispirazione scoprì la formula fondamentale per la moltiplicazione dei quaternioni, e la incise su una pietra di questo ponte.'')]]

I quaternioni furono formalizzati dal matematico [[Irlanda|irlandese]] [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]]. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i [[numeri complessi]] (che possono essere visti come punti su un [[piano (geometria)|piano]]) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Dopo aver ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con dimensione 4: i quaternioni. In seguito raccontò di aver fatto questa scoperta nel corso di una passeggiata con sua moglie, quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione 
:<math> \mathbf i^2 = \mathbf j^2 = \mathbf k^2 =\mathbf {ijk} = -1.  </math>
Eccitato dalla scoperta, incise l'equazione sul lato del vicino ponte ''Brougham'' (noto ora come ''[[Broom Bridge]]'') a [[Dublino]].

Questa formalizzazione necessitava l'abbandono della [[proprietà commutativa|commutatività]] della moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'[[algebra lineare]] ed il [[prodotto fra matrici]]. Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il [[prodotto vettoriale]] e il [[prodotto scalare]] negli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]]. Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte 'scalare', e le rimanenti tre sono la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, ''Elementi sui quaternioni'' aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.

L'uso dei quaternioni suscitò delle controversie. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'[[algebra lineare]] e del [[calcolo vettoriale]] (sviluppato fra gli altri da [[Oliver Heaviside]] e [[Willard Gibbs]]), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni (se si escludono gli [[Ottetto (matematica)|ottetti]] in dimensione otto). Una prima versione delle [[equazioni di Maxwell]] utilizzava una notazione basata sui quaternioni.

Oggi, i quaternioni vengono utilizzati principalmente nella rappresentazione di [[rotazione|rotazioni]] e direzioni nello spazio tridimensionale. Hanno quindi applicazioni nella [[computer grafica 3D]], nella [[Controllo automatico|teoria del controllo]], nell'[[elaborazione dei segnali]], nel [[controllo dell'assetto]], in [[fisica]] e in [[astrodinamica]]. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.

== Definizione ==
Un quaternione è un elemento scrivibile come

:<math> a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k </math>
con <math>a, b, c </math> e <math> d </math> [[numeri reali]] e <math>\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k </math> simboli letterali.

Somma e prodotto di due quaternioni sono definiti tenendo conto delle relazioni
:<math> \mathbf i^2 = \mathbf j^2 = \mathbf k^2 =\mathbf {ijk} = -1,</math>
che implicano in particolare le relazioni seguenti:
:<math> \mathbf i\mathbf j =\mathbf  k, </math>
:<math> \mathbf j\mathbf k = \mathbf i, </math>
:<math> \mathbf k\mathbf i= \mathbf j, </math>
:<math> \ \mathbf j\mathbf i=-\mathbf k, </math>
:<math> \mathbf k\mathbf j = -\mathbf i, </math>
:<math> \mathbf i\mathbf k = -\mathbf j. </math>
I risultati delle moltiplicazioni fra due di questi elementi sono riassunti nella tabella:
:{| class="wikitable" bgcolor="#ddeeff" border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|-----
| width="20" align="center" bgcolor="#ffffff" | <math> \times </math>
| width="20" align="center" bgcolor="#dddddd" | <math> 1 </math>
| width="20" align="center" bgcolor="#dddddd" | <math> \mathbf i</math>
| width="20" align="center" bgcolor="#dddddd" | <math> \mathbf j</math>
| width="20" align="center" bgcolor="#dddddd" | <math> \mathbf k</math>
|-----
| align="center" bgcolor="#dddddd" | <math> 1 </math>
| align="center" | <math> 1 </math> || align="center" | <math> \mathbf i</math> 
| align="center" | <math> \mathbf j </math> || align="center" | <math> \mathbf k</math> 
|-----
| align="center" bgcolor="#dddddd" | <math> \mathbf i </math>
| align="center" | <math> \mathbf i </math> || align="center" | <math> -1 </math>
| align="center" | <math> \mathbf k </math> || align="center" | <math> -\mathbf j</math> 
|-----
| align="center" bgcolor="#dddddd" | <math> \mathbf j </math>
| align="center" | <math>\mathbf j </math> || align="center" | <math> -\mathbf k</math> 
| align="center" | <math> -1 </math> || align="center" | <math> \mathbf i</math> 
|-----
| align="center" bgcolor="#dddddd" | <math> \mathbf k </math>
| align="center" | <math> \mathbf k</math>  || align="center" | <math> \mathbf j</math> 
| align="center" | <math>-\mathbf i</math>  || align="center" | <math> -1 </math>
|}

La somma ed il prodotto di due quaternioni sono calcolate con gli usuali passaggi algebrici, usando le relazioni di moltiplicazione appena descritte. La somma di due quaternioni è quindi data da:
:<math> (a_1+b_1\mathbf i+c_1\mathbf j+d_1\mathbf k) + (a_2+b_2\mathbf i+c_2\mathbf j+d_2\mathbf k) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\mathbf i + (c_1+c_2)\mathbf j + (d_1+d_2)\mathbf k </math>
mentre il loro prodotto risulta essere il seguente:
:<math> (a_1+b_1\mathbf i+c_1\mathbf j+d_1\mathbf k)(a_2+b_2\mathbf i+c_2\mathbf j+d_2\mathbf k) = </math>
:<math> =(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 +c_1d_2 - d_1c_2)\mathbf i + (a_1c_2 + c_1a_2 +d_1b_2 - b_1d_2)\mathbf j + (a_1d_2 + d_1a_2+b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf k. </math>

I quaternioni contengono in modo naturale i numeri reali (i quaternioni del tipo <math> q = a </math>, con <math> b=c=d=0 </math>) ed i [[numeri complessi]] (i quaternioni del tipo <math> q = a +b\mathbf i </math>, con <math> c=d=0 </math>, ma anche del tipo  <math> q = a +b\mathbf j </math> oppure del tipo  <math> q = a +b\mathbf k </math> ).

=== Esempio ===
Dati due quaternioni
:<math> x = 3+\mathbf i,\quad y = 5\mathbf i+\mathbf j-2\mathbf k </math>,

somma e prodotto sono dati da:

:<math> x+y = 3+6\mathbf i+\mathbf j-2\mathbf k </math>
:<math> xy = (3+\mathbf i)(5\mathbf i+\mathbf j-2\mathbf k) = 15\mathbf i+3\mathbf j-6\mathbf k+5\mathbf i^2+\mathbf {ij}-2\mathbf {ik} = 15\mathbf i+3\mathbf j-6\mathbf k-5+\mathbf k+2\mathbf j = -5+15\mathbf i+5\mathbf j-5\mathbf k. </math>

== Proprietà basilari ==
I quaternioni hanno molte caratteristiche proprie dei [[numeri complessi]]: anche per i quaternioni, in analogia con i complessi, possono essere definiti concetti come ''[[norma (matematica)|norma]]'' e ''coniugato''; ogni quaternione, se diverso da zero, possiede un  [[elemento inverso|inverso]] rispetto al prodotto. Si differenziano però dai numeri complessi per il fatto che il loro prodotto può non essere [[proprietà commutativa|commutativo]].

=== Prodotto non commutativo ===
Il prodotto di due quaternioni non è in generale [[proprietà commutativa|commutativo]]: lo è solo se entrambi appartengano allo stesso piano complesso. Ad esempio, come si è già visto, <math> \mathbf i\mathbf j = \mathbf k </math> è diverso da <math> \mathbf j\mathbf i = -\mathbf k </math>. 

Tuttavia, per linearità, si comporta come un prodotto tra polinomi e si può riportare ai 4x4 prodotti fondamentali della tabella di cui sopra.

=== Coniugato ===
Il ''coniugato'' di un quaternione <math> q = a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k </math> è il quaternione <math>\bar q = a-b\mathbf i-c\mathbf j-d\mathbf k,</math> (a volte indicato anche con <math>q^*</math>).

Il coniugato soddisfa le proprietà seguenti:
:<math> \overline{\overline {q}} = q,   </math>
:<math> \overline {q+q'} = \overline q + \overline q', </math>
:<math> \overline {qq'} = \overline q' \overline q. </math>

Il coniugato può anche essere espresso da una combinazione lineare di <math>q,</math> con coefficienti contenenti <math>\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k,</math> nel seguente modo: 
:<math>\bar q = -\frac{q +\mathbf iq\mathbf i+\mathbf jq\mathbf j+\mathbf kq\mathbf k}{2}.</math>

=== Norma ===
La ''[[norma (matematica)|norma]]'' di <math> q </math> è il numero reale non negativo
:<math display="inline">|q|= \sqrt{q \bar q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.</math>
La norma di <math> q </math> è sempre positiva, e nulla soltanto se <math> q = 0 </math>. Valgono le relazioni seguenti:
:<math>|q|^2 = q\bar q,</math>
:<math>|qq'| = |q||q'|.</math>

=== Inverso ===
Un quaternione <math> q </math> diverso da zero ha un [[elemento inverso|inverso]] per la moltiplicazione, dato da
:<math> q^{-1} = \frac{\overline q}{|q|^2}.</math>
Infatti
:<math> qq^{-1} = q\frac{\overline q}{|q|^2} = \frac {q\overline q}{|q|^2} = \frac{|q|^2}{|q|^2} = 1 </math>
e similmente <math>q^{-1}q = 1 </math>. Valgono le proprietà seguenti:
:<math> |q^{-1}| = \frac 1{|q|}, </math>
:<math> \overline {q^{-1}} = {\overline q}^{-1},</math>
:<math> (qq')^{-1} = {q'}^{-1}q^{-1}.</math>

=== Struttura algebrica ===
Con le operazioni di somma e prodotto, l'insieme dei quaternioni, indicato a volte con <math>\mathbb H </math>, forma un [[anello non commutativo]], più precisamente un [[Corpo (matematica)|corpo]].

Con le operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale <math> \lambda </math>, data da
:<math>\lambda (a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k) = \lambda a + \lambda b\mathbf i + \lambda c\mathbf j + \lambda d\mathbf k, </math>
i quaternioni formano anche uno [[spazio vettoriale reale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] 4: una [[base (algebra lineare)|base]] per lo spazio è data dagli elementi <math>\{1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\} </math>.

Le due strutture di corpo e di spazio vettoriale sono riassunte dal concetto di [[algebra di divisione]]. I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative costruite sui numeri reali aventi dimensione finita.

=== Struttura metrica ===
Usando la funzione distanza 
:<math> d(q,q') = |q-q'|, </math> 
i quaternioni formano uno [[spazio metrico]], [[isometria|isometrico]] allo spazio <math>\R</math><sup>4</sup> dotato della usuale [[metrica euclidea]]. Le coordinate <math>(a,b,c,d) </math> di un quaternione <math> q </math> lo identificano come elemento di <math>\R^4 </math>, e tramite questa identificazione, la norma <math>|q| </math> è semplicemente la [[norma euclidea]].

Con la norma, i quaternioni formano un'[[algebra di Banach]] reale.

== Quaternioni unitari ==
=== Gruppo di Lie ===
I quaternioni unitari sono i quaternioni di norma 1. Ad esempio, <math> 1,\mathbf i,\mathbf j </math> e <math>\mathbf k </math> sono unitari. Nell'identificazione con <math>\R^4 </math>, i quaternioni unitari formano una [[ipersfera]] quadridimensionale.
:<math> S^3 = \{(a,b,c,d)\in\R^4\ |\ a^2+b^2+c^2+d^2=1 \}.</math>

I quaternioni unitari formano un [[gruppo moltiplicativo]] rispetto al prodotto. Tale gruppo, a differenza del suo analogo complesso, non è [[gruppo abeliano|abeliano]]. Con la struttura di [[varietà differenziabile]] data da <math> S^3 </math>, esso forma un [[gruppo di Lie]].

=== Gruppo di rotazioni ===
Ogni quaternione unitario <math>q</math> definisce una [[rotazione (matematica)|rotazione]] dello spazio <math>\R^3 </math> nel modo seguente. Osserviamo che si può indicare il quaternione <math> q=a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k </math> tramite una notazione scalare-vettore <math>q=(a,v)</math>, con <math>v=(b,c,d)</math>, e identifichiamo <math>\R^3 </math> con l'insieme dei quaternioni <math>x=(0,v) </math> con prima coordinata nulla. La rotazione determinata da <math>q </math> è data dall'operazione di [[coniugio]]
:<math> x\mapsto qxq^{-1}. </math>
Si verifica infatti facilmente che se <math> q </math> ha prima coordinata nulla, anche <math>qxq^{-1} </math> ha prima coordinata nulla: è quindi definita un'[[azione di un gruppo|azione]] del gruppo dei quaternioni unitari su <math>\R^3 </math>. Ogni mappa definita in questo modo è effettivamente una rotazione, poiché preserva la norma:
:<math> |qxq^{-1}| = |q||x||q^{-1}| = |q||x||q|^{-1} = |x|. </math>
I quaternioni unitari sono quindi un utile strumento per descrivere sinteticamente le rotazioni in <math>\R^3</math>. Ogni rotazione è esprimibile in questo modo, e due quaternioni <math>q,q' </math> definiscono la stessa rotazione se e solo se <math>q = - q' </math>.

=== Rivestimenti ===
Associando ad ogni quaternione unitario una rotazione, si è definito una mappa
:<math> S^3 \to SO(3) </math>
dal gruppo dei quaternioni unitari sul [[gruppo ortogonale speciale]] delle rotazioni dello spazio tridimensionale. Per quanto appena detto, la mappa è [[funzione suriettiva|suriettiva]], ma non [[funzione iniettiva|iniettiva]]: la controimmagine di un punto è data da due punti opposti <math>\{\pm q_0 \} </math>. In particolare, tale mappa è un [[rivestimento (topologia)|rivestimento]] di grado 2.

Poiché <math> S^3 </math> è [[semplicemente connesso]], questo è il [[rivestimento universale]] di <math> SO(3) </math>, che ha quindi come [[gruppo fondamentale]] il [[gruppo ciclico]] <math>\mathbb Z/_{2\mathbb Z} </math> con due elementi. Topologicamente, <math> SO(3) </math> è [[omeomorfo]] allo [[spazio proiettivo]] <math>\mathbb P^3(\R) </math>.

=== Sottogruppo finito ===
{{vedi anche|Gruppo dei quaternioni}}
Il [[sottogruppo]] generato dagli elementi <math>\{1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\} </math> è un [[gruppo finito]]: ha [[ordine di un gruppo|ordine]] 8, e viene spesso indicato con <math>Q_8 </math>. I suoi otto elementi sono
:<math>\{\pm 1, \pm \mathbf i, \pm \mathbf j, \pm \mathbf k\}. </math>
Il gruppo <math> Q_8 </math> è il più piccolo gruppo non abeliano dopo il [[gruppo di permutazioni]] <math> S_3 </math>, che ha ordine 6.

== Notazioni e rappresentazioni alternative ==
=== Notazione scalare/vettore ===
Il quaternione <math> q = a +b\mathbf i +c\mathbf j +d\mathbf k </math> può essere descritto anche dalla coppia <math> (a, v) </math>, dove <math> v = (b,c,d) </math> è un vettore in <math>\R^3 </math>. Con questa notazione, somma e prodotto possono essere descritti nel modo seguente:
:<math>\begin{matrix}q_1 + q_2 &=& (a_1 , v_1) + (a_2, v_2) = (a_1+a_2, v_1 + v_2) \\
q_1 \cdot q_2 &=& (a_1 a_2 - v_1 \cdot v_2, a_1 v_2 + a_2 v_1 + v_1 \wedge v_2)\end{matrix}</math>
dove si usano il [[prodotto scalare]] ed il [[prodotto vettoriale]] fra vettori di <math>\R^3 </math>.
Le nozioni di coniugato e norma diventano:
:<math>\bar q = (a ,-v)</math> 
:<math>|q|^2 = a^2 + |v|^2\,\! </math>
usando l'usuale [[norma (matematica)|norma]] di un vettore in <math>\R^3 </math>.

=== Coppia di numeri complessi ===
Grazie alla relazione <math>\mathbf k = \mathbf i\mathbf j = -\mathbf j\mathbf i</math>, ogni quaternione può essere scritto usando soltanto i simboli <math>\mathbf i </math> e <math>\mathbf j </math> nel modo seguente:
:<math> q = a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k = a+b\mathbf i + c\mathbf j-d\mathbf j\mathbf i = a+b\mathbf i + \mathbf j(c-d\mathbf i).</math>
Quindi 
:<math> q = z +\mathbf jw,</math>
dove <math> z = a+b\mathbf i </math> e <math> w=c-d\mathbf i </math> sono due numeri complessi. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono in modo usuale, applicando la relazione
:<math>\mathbf i\mathbf j = -\mathbf j\mathbf i. </math>

Per quanto riguarda coniugato e norma, risulta rispettivamente
:<math>\bar q = (\bar z ,-w),</math> 
:<math>|q|^2 = |z|^2 + |w|^2.</math>

=== Matrici ===
I quaternioni possono essere espressi tramite [[matrice|matrici]] <math> 2\times 2 </math> di [[numero complesso|numeri complessi]], oppure matrici <math> 4\times 4 </math> di numeri reali.

==== Matrici <math> 2\times 2 </math> complesse ====
Il quaternione <math> q=z+w\mathbf j </math>, con <math>z=a+b\mathbf i</math> e <math>w=c+d\mathbf i</math>, può essere rappresentato dalla matrice a coefficienti complessi

:<math>\begin{bmatrix} z & w \\ -\overline{w} & \,\, \overline{z} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a+b\mathbf i & c+d\mathbf i \\ -c+d\mathbf i & \,\, a-b\mathbf i \end{bmatrix}</math>

Attraverso questa identificazione, gli elementi <math> 1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k </math> sono rappresentati rispettivamente da:

:<math>\left[
\begin{matrix}
1, &0\\
0, &1\\
\end{matrix}\right], \quad 

\left[
\begin{matrix}
\mathbf i, &0\\
0, &-\mathbf i\\
\end{matrix}\right], \quad 

\left[
\begin{matrix}
0, &1\\
-1, &0\\
\end{matrix}\right], \quad

\left[
\begin{matrix}
0, &\mathbf i\\
\mathbf i, &0\\
\end{matrix}\right]
.
</math>

Indichiamo con <math>\phi : \mathbb H \rightarrow \text{Mat}_{n,n}(\mathbb C )</math>. Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:

* <math>\phi</math> è un omomorfismo iniettivo di [[Monoide|monoidi]].  
* Il quadrato della norma di un quaternione è uguale al [[Determinante (algebra)|determinante]] della matrice corrispondente. 
* Il coniugato di un quaternione corrisponde alla [[matrice trasposta coniugata|coniugata trasposta]] della matrice corrispondente.
* Restringendosi ai quaternioni unitari, questa applicazione induce un [[isomorfismo]] di gruppi tra la [[sfera]] <math>S^3\subset \mathbb H</math> e il [[gruppo unitario speciale]] <math>\text{SU}(2)</math>. Questo gruppo, strettamente collegato alle [[matrici di Pauli]], è usato in [[meccanica quantistica]] per rappresentare lo [[spin]].

==== Matrici <math> 4\times 4 </math> reali antisimmetriche ====
Gli elementi <math> 1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k </math> sono rappresentati rispettivamente da:

:<math> 
\left[
\begin{matrix}
1,&0,&0,&0\\
0,&1,&0,&0\\
0,&0,&1,&0\\
0,&0,&0,&1\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&1,&0,&0\\
-1,&0,&0,&0\\
0,&0,&0,&1\\
0,&0,&-1,&0\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&0,&0,&-1\\
0,&0,&-1,&0\\
0,&1,&0,&0\\
1,&0,&0,&0\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&0,&-1,&0\\
0,&0,&0,&1\\
1,&0,&0,&0\\
0,&-1,&0,&0\\
\end{matrix} \right]. 
</math>

Il quaternione <math> a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k </math> è quindi rappresentato da

:<math>\begin{bmatrix}
 a & b & -d & -c \\ 
 -b & a & -c & d \\
 d & c & a & b \\
 c & -d & -b & a 
\end{bmatrix}</math>

In questa rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla [[matrice trasposta|trasposta]] della matrice.

== Equazioni sui quaternioni ==
La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei [[polinomio|polinomi]] definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione <math> q^2+1 = 0 </math> per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni, date da tutti i
:<math>q = b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k,</math>
con <math>b^2+c^2+d^2=1 </math>.

== Generalizzazioni ==
Se <math>F</math> è un generico [[campo (matematica)|campo]] e <math>a</math> e <math>b</math> sono elementi di <math>F,</math> è possibile definire un'[[algebra associativa]] unitaria a quattro dimensioni su <math>F</math> usando due generatori <math>\mathbf i</math> e <math>\mathbf j</math> e le relazioni <math>\mathbf i^2=a, \mathbf j^2=b</math> e <math>\mathbf i\mathbf j=-\mathbf j\mathbf i.</math> Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle [[matrice|matrici]] <math>2\times 2</math> su <math>F,</math> e inoltre sono delle [[algebra di divisione|algebre di divisione]] su <math>F.</math> Sono chiamate [[algebra di quaternioni|algebre di quaternioni]].

==Note==
<references />

== Bibliografia ==
* Hime, Henry William Lovett (1894) ''[https://www.archive.org/details/outlinesofquater00himeuoft The outlines of quaternions]'' Longman Greens.
* Hamilton, William Rowan (1899) ''[https://www.archive.org/details/117770258_001  Elements of quaternions (t.1)]'' . Longman Greens. 
* Hamilton, William Rowan (1901) ''[https://www.archive.org/details/117770258_002  Elements of quaternions (t.2)]'' . Longman Greens. 
* Kelland, Philip and Tait, Peter Guthrie (1882) ''[https://www.archive.org/details/introductiontoqu00kelliala Introduction to quaternions, with numerous examples]'' McMillan & co. Ltd. 
* Hardy, A. S. (1891) ''[https://www.archive.org/details/elementsofquater028860mbp Elements of quaternions].''  Ginn.
* MacAulay, Alexander (1893) ''[http://resolver.library.cornell.edu/math/1849283 Utility of Quaternions in Physics]''
* Hathaway, Arthur S. (1896) ''[https://www.archive.org/details/aprimerofquatern09934gut A Primer of Quaternions]'' London, Macmillan & co., ltd. 
* Joly, Charles Japser (1905) ''[https://www.archive.org/details/manualofquaterni028692mbp A Manual Of Quaternions]''. McMillan & co. Ltd. 
* MacFarlane, Alexander (1906) ''[https://www.archive.org/details/vectoranalysisan13609gut Vector Analysis and Quaternions]'' New York, J. Wiley & Sons.
* Kuipers, Jack (2002). ''Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality'' (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8

== Voci correlate ==
* [[Numeri complessi]]
* [[Gruppo dei quaternioni]]
* [[Ottonione]]
* [[Sedenione]]
* [[Numero ipercomplesso]]
* [[Algebra di divisione]]
* [[Algebra associativa]]
* [[Teoria dei gruppi]]
* [[Rotazioni spaziali con i quaternioni]]

== Collegamenti esterni ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html Definizione e riferimenti] su mathworld.wolfram.com
* [http://theworld.com/~sweetser/java/qcalc/qcalc.html Quaternion Calculator] [Java]
* [https://arxiv.org/pdf/math-ph/0201058 The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton] (PDF)

[[Categoria:Quaternioni| ]]