Modifica di Moto circolare

{{F|meccanica|giugno 2018}}
[[Immagine:Circular motion.svg|thumb|Rappresentazione bidimensionale di un moto circolare. Si è rappresentati con ''s'' l'ascissa curvilinea, con ''R'' il raggio del cerchio e con ''v'' velocità istantanea del punto.]]

Il '''moto circolare''' è uno dei moti semplici studiati dalla [[fisica]] e dalla  [[cinematica]], e consiste in un moto di un [[punto materiale]] lungo una [[circonferenza]].

Il moto circolare assume importanza per il fatto che la [[velocità]] e l'[[accelerazione]] variano in funzione del cambiamento di direzione del moto. Tale cambiamento si può misurare comodamente usando le misure angolari per cui le equazioni del moto, introdotte con il [[moto rettilineo]], vanno riviste e rielaborate con misure angolari.

La [[retta]] passante per il centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa prende il nome di [[asse di rotazione]]. Per semplificare l'analisi di questo tipo di moto, infatti, consideriamo che l'osservatore si ponga sull'asse di rotazione. Ciò è possibile per l'[[isotropia]] e l'[[omogeneità]] dello [[Spazio (fisica)|spazio]].

== Il moto in coordinate cartesiane, polari e polari doppie ==
Il sistema più comodo per analizzare un moto circolare fa uso delle [[coordinate polari]]. Infatti nel caso particolare di movimento che avviene su una circonferenza di raggio '''''R''''', il moto in [[coordinate polari]] è determinato dalle coordinate:
:<math>\rho(t)= R \quad \mbox{e} \quad \theta(t),</math>
mentre in [[coordinate cartesiane]] si ha:
:<math>\begin{cases}x(t)= R\cdot\cos\theta(t)\\
y(t)= R\cdot\operatorname{sen}\theta(t)
\end{cases}</math>

che soddisfano la seguente identità (in ogni istante di tempo):
:<math>x^2 + y^2 = R^2</math>
[[File:Moto circolare.svg|thumb|upright=1.6|Rappresentazione tridimensionale di un moto circolare]]
Nel moto circolare si possono definire due diverse tipologie di velocità: la [[velocità angolare]] e la [[velocità tangenziale]].

Per descriverle consideriamo nello spazio tridimensionale, il vettore infinitesimo ''spostamento angolare''
:<math>\mathrm d\vec\theta=\hat{\mathbf z}\cdot \mathrm d\theta</math>
dove <math>\hat{\mathbf z} </math> è un [[versore]] disposto lungo l'asse di rotazione e <math>d \theta </math> la variazione [[infinitesimo|infinitesima]] della variabile angolare <math>\theta</math>.

Sia ora <math>\vec{R}(t)</math> il vettore posizione del punto ''P'' ad ogni istante <math>t</math>, allora lo ''spostamento lineare'' <math>d\vec {R}(t)</math> (ovvero la variazione infinitesima di <math>\vec{R}(t)</math>) del punto ''P'' sull'arco di circonferenza nell'intervallo di tempo (infinitesimo) <math>dt</math> sarà legata allo spostamento angolare <math>d\vec {\theta}</math> dal [[prodotto vettoriale]]:

:<math> \mathrm d\vec{R}(t)=\mathrm d\vec{\theta}\times\vec{R}(t)</math>.

La direzione e il verso risultano corretti per la regola della mano destra, come si vede dalla figura a lato. Il modulo è dato da (si ricordi che l'angolo è infinitesimo):

:<math> |\mathrm d \vec {R}(t)| = |\mathrm d\vec {\theta}| \cdot |\vec {R}(t)| \cdot \operatorname{sen} \left( \frac{\pi}{2} \right) = \mathrm d \theta \cdot R</math>

che corrisponde, per definizione essendo <math>d \theta </math> espresso in [[radiante|radianti]], all'arco di circonferenza sottesa dall'angolo <math> d \theta </math>.

La [[velocità angolare]] è definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore spostamento angolare ed è comunemente indicata con la lettera greca <math>\omega</math> (omega):

:<math>\vec {\omega}(t)= \frac {\mathrm d \vec \theta}{\mathrm dt} = \hat{\mathbf z} \cdot \frac {\mathrm d \theta}{\mathrm dt}</math>

(ricordando che <math>\hat{\mathbf z}</math> è costante) ed è una misura della velocità di variazione dell'angolo formato dal vettore [[posizione]], si misura in [[radiante|radianti]] al [[secondo]] <math>\left [\frac {\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right]</math> ed ha la stessa direzione del vettore spostamento angolare.

La velocità lineare (o tangenziale) si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione <math>\vec R</math>:
:<math>\vec v(t)=\frac {\mathrm d\vec R(t)} {\mathrm dt} </math>
ed è legata alla velocità angolare dalla seguente relazione (per approfondire si veda anche [[derivata di un vettore]]):

:<math> \vec v(t) = \frac {\mathrm d \vec{\theta} \times \vec{R}(t)}{\mathrm dt} = \frac {\mathrm d\vec \theta}{\mathrm dt} \times \vec R(t) = \vec {\omega} \times \vec {R}(t) \,.</math>

Si noti che la costanza della velocità angolare implica la costanza del modulo della velocità.

Se si esegue il [[prodotto scalare]] dei due vettori <math>\vec R(t)</math> e <math>\vec v(t)</math> si ottiene zero per ogni istante di tempo ''t'', e questo dimostra che la [[velocità tangenziale]] è sempre ortogonale al raggio vettore <math>\vec R(t)</math>.

Oltre a queste, si può introdurre la [[velocità areolare]], definita come la derivata, rispetto al tempo, dell'area spazzata dal raggio vettore <math>\vec{R}</math>:

<math> \dot\mathbf{A}=\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\,\vec{v}\times\vec{R}</math>

si misura in metri quadri al secondo <math>\left[\frac{\mathrm m^2}{\mathrm s}\right]</math> ed ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità angolare.

== Accelerazione ==
[[File:Accelerazione circolare.svg|thumb|upright=1.4|Schema accelerazione]]
Derivando rispetto al tempo l'espressione del vettore velocità tangenziale otteniamo l'accelerazione; che ha una componente parallela alla velocità (responsabile della variazione del modulo di questa) e una normale (o radiale): si tratta rispettivamente dell'[[accelerazione tangenziale]] e dell'[[accelerazione centripeta]]:

:<math>\vec a(t) = \frac {\mathrm d}{\mathrm d t} \left [\vec {\omega} \times \vec {R}(t)\right]= \frac {\mathrm d\vec \omega}{\mathrm dt} \times \vec {R}(t) + \vec \omega \times \frac {\mathrm d \vec R(t)} {\mathrm dt}</math>

La prima frazione si chiama [[accelerazione angolare]] di solito indicata con <math>\vec{\dot\omega}_{(t)}</math>, <math>\vec {\alpha}</math> oppure <math>\vec{\varpi}</math>.

Si misura in radianti su secondi quadri <math>\left[ \frac {\mathrm{rad}} {\mathrm{s}^{2}} \right]</math>, fornisce la variazione della velocità angolare ed ha stessa direzione di questa.

Sviluppando la relazione precedente otteniamo (tralasciando le dipendenze dal tempo):

:<math>\vec a(t)=\vec{\varpi}\times\vec{R}+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)=\vec {\varpi}\times\vec{R}-\omega^2\vec{R}=\vec{a}_\tau+\vec{a}_n</math>

dove si vede chiaramente la componente tangenziale che rappresenta la variazione del modulo della velocità lineare e la componente normale o centripeta che rappresenta la variazione della direzione della velocità lineare, diretta sempre verso il centro della circonferenza.

Pertanto possiamo concludere che l'accelerazione ha un componente radiale di modulo:

:<math>|\vec {a_n}|=\omega^2 R={v^2\over R}</math> 

e una tangenziale di modulo:

:<math>|\vec {a_\tau}|=R \, \ddot\theta \,.</math>

Può essere utile a questo punto introdurre la [[curvatura]] definita come <math>k=\frac{1}{R}</math>, misurata in <math>m^{-1}</math>. Inserendola nelle formule dell'accelerazione si ha:

:<math>|\vec {a_n}|=v^2 k={\omega^2\over k}\qquad</math>  e  <math>\qquad|\vec {a_\tau}|=\frac{\ddot\theta}{k}.</math> 

Da ciò si deduce che all'aumentare della curvatura, e conseguentemente al diminuire del raggio, prevale la componente normale dell'accelerazione, restringendo la traiettoria. Viceversa, al crescere del raggio, con conseguente riduzione della curvatura, prevale la componente tangenziale che conduce ad un allargamento della traiettoria. 

Per questa ragione il [[moto rettilineo]] può essere letto come un moto circolare con accelerazione normale nulla.

Omologamente, derivando la velocità  areolare, si ottiene l'[[Velocità areolare|accelerazione areolare]], misurata in metri quadri su secondi quadri <math>\left[\frac{m^2}{s^2}\right]</math>:

<math>\ddot\mathbf{A}=\frac{\mathrm d\dot\mathbf{A}}{\mathrm dt}=\frac{1}{2}\vec{a}_\tau\times\vec{R}</math>

== Moto circolare uniforme ==

Se il moto circolare è uniforme significa che è costante il vettore velocità angolare, cioè si ha velocità lineare costante in modulo.

Integrando la  <math>\vec {\omega}(t) \cdot dt = d \vec {\theta}</math>  tra i due istanti, l'iniziale <math>t_0</math>, e <math>t</math> corrispondenti ad un angolo iniziale <math>\theta_0</math> e un altro angolo <math>\theta</math>:

:<math>\theta (t) = \theta_0 + \omega t </math>

essendo <math>\omega</math> la [[velocità angolare]] costante.

Ne consegue (dalle equazioni viste alla sezione precedente) che la velocità tangenziale ha modulo costante pari a:

:<math>v(t)={\mathrm d R(t)\over\mathrm d t}=R\cdot\omega</math>

e dal momento che essa vettorialmente varia solo in direzione, segue che <math>|\vec {a_\tau}|=0</math>, dunque l'accelerazione ha solo componente radiale, detta [[accelerazione centripeta]]:

:<math>\vec {a}_n = -\omega^2 R\cdot\hat\mathbf{n}=-\frac{v^2}{R}\cdot\hat\mathbf{n}</math>
:Ad essere costante è anche la velocità areolare:
:<math>\dot\mathbf{A}=\frac{1}{2}R^2\vec{\omega}</math>

== Moto circolare uniformemente accelerato ==
Il moto circolare uniformemente accelerato è il moto più generale ad accelerazione costante in modulo e in inclinazione rispetto alla velocità.
In particolare ciò significa che l'accelerazione angolare è costante. Integrando l'accelerazione angolare <math>\varpi\cdot dt=d\omega</math> tra due istanti di tempo <math>t_0</math> e <math>t</math> corrispondenti alle due velocità angolari iniziale e finale <math>\omega_0</math> e <math>\omega</math>:

<math>\int_{t_0}^{t}\varpi\cdot \mathrm dt=\int_{\omega_0}^{\omega}\mathrm d\omega_{(t)}\,\Rightarrow\,\omega_{(t)}=\omega_0+\varpi t </math>

Integrando la relazione <math>d\theta = \omega \cdot dt</math> tra due istanti di tempo iniziale e finale <math>t_0</math> e <math>t</math> e sostituendo a <math>\omega_{(t)}</math> il valore trovato sopra, possiamo ricavare lo spostamento angolare <math>\theta(t)</math>:

<math>\begin{align}\int_{\theta_0}^{\theta}\mathrm d\theta&=\int_{t_0}^{t}\omega_{(t)}\cdot \mathrm dt\\&=\int_{t_0}^{t}(\omega_0+\varpi\cdot t)\cdot \mathrm dt\\&=\int_{t_0}^{t}\omega_0\cdot \mathrm dt+\int_{t_0}^{t}\varpi\cdot t\cdot \mathrm dt\\&\Rightarrow\theta_{(t)}=\theta_0+\omega_0\cdot t+\frac{1}{2}\varpi\cdot t^2\end{align}</math>

Risulta costante anche l'accelerazione areolare:

<math>\ddot\mathbf{A}=\frac{1}{2}R^2\vec{\varpi}</math>

== Rappresentazione dei vettori posizione, velocità e accelerazione ==

Per una rappresentazione vettoriale delle grandezze cinematiche relative al moto circolare, è opportuno introdurre i [[Tangente (geometria)|versori tangente]] e [[Perpendicolarità|normale]] alla traiettoria, che sono definiti nel modo seguente (il versore normale punta verso l'interno):

:<math>\hat \tau = \begin{pmatrix} - \operatorname{sen} \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix} </math><br/>
:<math>\hat n = \begin{pmatrix} -\cos \theta \\ - \operatorname{sen} \theta \end{pmatrix} </math>

Tenendo conto delle [[regole di derivazione]], le derivate di questi versori rispetto al tempo sono date da

:<math>\frac {\operatorname d\hat \tau }{\operatorname d t}=\begin{pmatrix} -\cos \theta \\ - \operatorname{sen} \theta \end{pmatrix}  = \dot \theta \hat n</math><br/>
:<math>\frac {\operatorname d\hat n }{\operatorname d t}= \begin{pmatrix} \operatorname{sen} \theta \\ -\cos \theta \end{pmatrix} = - \dot \theta \hat \tau</math><br/>
 
Possiamo quindi esprimere i [[vettore (matematica)|vettori]] posizione, velocità e accelerazione  usando i versori <math>\hat \tau</math> e <math>\hat n</math>:

* '''Posizione'''. Il vettore posizione è sempre diretto ''radialmente'': 
:<math>\vec r= -R \hat n</math>
* '''Velocità'''. Il vettore velocità è sempre diretto ''tangenzialmente'' (la derivata di R rispetto al tempo è nulla)
:<math>\vec v = \frac {\operatorname d\vec r }{\operatorname d t}=R  \dot \theta \hat \tau</math>
:La [[velocità radiale]] risulta quindi nulla <math>\Rightarrow v_\rho=\dot\rho=0</math>
:La [[velocità tangenziale]] è : <math>v_\theta = R  \dot \theta</math>
:La [[velocità angolare]] è: <math>\dot \theta = \omega</math>
:La [[velocità areolare]] è: <math>\dot A=\frac{1}{2}R^2\omega</math>
*'''Accelerazione'''. Il vettore [[accelerazione]] ha una componente tangente e una normale:
:<math>\vec a = \frac {\operatorname d\vec v }{\operatorname d t}=R \,\ddot \theta \,\hat \tau + R\, \dot \theta^2 \,\hat n</math>
:L'accelerazione radiale, detta [[accelerazione centripeta]] è : <math>a_\rho =  R \, \dot \theta^2</math>
: L'accelerazione trasversa, detta [[accelerazione tangenziale]] è : <math>a_\theta =  R \,\ddot \theta</math>
: L'[[accelerazione angolare]] è: <math>\ddot\theta=\varpi</math>
: L'[[Velocità areolare|accelerazione areolare]], o areale è: <math>\ddot A=\frac{1}{2}R^2\varpi</math>

Nel moto circolare uniforme l'accelerazione tangenziale è nulla.

Infine si possono scrivere le componenti del vettore velocità in coordinate cartesiane:

:<math>\begin{cases}\dot x = -R \dot \theta \operatorname{sen} \theta = - \dot \theta y\\
\dot y = R \dot \theta \cos\theta = \dot \theta x\end{cases}</math>

Introdotto il ''vettore velocità angolare'', di modulo <math>\dot \theta</math>, con direzione perpendicolare al piano del moto e con verso tale da vedere ruotare il corpo in senso antiorario,

:<math>\vec \omega =  \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \dot \theta \end{pmatrix}</math>

il vettore velocità può semplicemente essere scritto come:

:<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r </math>

== Voci correlate ==
*[[Moto rettilineo]]
*[[Moto ellittico]]
*[[Moto iperbolico]]
*[[Moto armonico]]
*[[Orbita circolare]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

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