Modifica di Minimo comune multiplo

In [[matematica]], il '''minimo comune multiplo''' di due numeri [[Numero intero|interi]] <math>a</math> e <math>b</math>, indicato con <math>\operatorname{mcm}(a,b)</math>, è il più piccolo numero intero positivo multiplo sia di <math>a</math> sia di <math>b</math>. Nel caso particolare in cui uno tra <math>a</math> o <math>b</math> è uguale a zero, allora si definisce <math>\operatorname{mcm}(a,b)</math> uguale a [[0 (numero)|zero]]<ref>{{cita|Hasse|p. 10|Hasse}}; se <math>a=b=0</math> il minimo comune multiplo non è definito.</ref>. È possibile calcolare il minimo comune multiplo di più di due numeri, sostituendo man mano due dei numeri con il loro comune multiplo e proseguendo fino a che non rimane un solo numero che è il risultato; si può dimostrare che il risultato è lo stesso qualunque sia l'ordine in cui vengono fatte le sostituzioni.

== Calcolo del minimo comune multiplo ==
Per calcolare il minimo comune multiplo, si possono usare vari procedimenti equivalenti.

=== Partendo dal MCD ===
Il minimo comune multiplo è utile quando occorre sommare due o più [[Frazione (matematica)|frazioni]]. La regola per la somma di frazioni richiede infatti di cominciare con il trasformarle in modo che tutti i denominatori siano uguali; a questo punto si possono sommare i numeratori, e usare il valore comune dei denominatori come denominatore. Il più piccolo denominatore che si può usare, detto ''minimo comune denominatore'', è proprio il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo di due numeri <math>a</math> e <math>b</math> diversi da zero può essere calcolato usando il [[massimo comun divisore]] (MCD) di <math>a</math> e <math>b</math> e la formula seguente:

:<math>\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}.</math>

Per esempio:

:<math>\operatorname{mcm}(21,6)
={21\cdot6\over\operatorname{MCD}(21,6)}
={21\cdot 6\over 3}=42.</math>

Per semplificare i conteggi ci si può ricordare che per costruzione il MCD tra due numeri è multiplo di ciascuno di loro; si può pertanto cominciare a dividere uno dei numeri per il massimo comun divisore e poi moltiplicare il risultato per il secondo numero. In questo esempio abbiamo così <math>{{21:3}\cdot 6}={7\cdot 6}=42.</math>. Per calcolare velocemente il minimo comune multiplo si può usare l'[[algoritmo di Euclide]].

=== Con semplificazione e moltiplicazione a croce ===
Una variante del metodo precedente permette di semplificare automaticamente il MCD e di verificare il risultato ottenuto. Se per esempio si vuole trovare trovare il <math>\operatorname{mcm}(12,8)</math>, i passi sono i seguenti.

* Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo: <math>{12 \over 8} = {3 \over 2}.</math>
* Si esegue la "moltiplicazione a croce": <math>12\times 2 = 8\times 3.</math>
* I due prodotti saranno uguali e corrispondono al minimo comune multiplo: <math>12\times 2 = 8\times 3 = 24 </math>.

Il ridurre ai minimi termini la frazione costruita con i due numeri è infatti equivalente a dividere ciascuno di essi per il massimo comun divisore, e la moltiplicazione a croce completa il prodotto del metodo precedente.

=== Usando il teorema fondamentale dell'aritmetica ===
Il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] afferma che ogni intero maggiore di <math>1</math> può essere scritto in un modo unico come prodotto di [[Numero primo|fattori primi]]. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un [[numero composto]].

Per esempio:

:<math>90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 </math>

Il numero composto <math>90</math> è costituito da un elemento uguale al numero primo <math>2</math>, due elementi uguali al numero primo <math>3</math> e un elemento uguale al numero primo <math>5</math>.

Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.

Per esempio: calcolare il <math>\operatorname{mcm}(45, 120, 75)</math>.

:<math>45=3^2 \cdot 5^1 </math>
:<math>120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 </math>
:<math>75=3^1 \cdot 5^2 </math>

Il minimo comune multiplo è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

:<math>\operatorname{mcm}(45,120,75) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800.</math>

Il vantaggio di questo metodo è che può essere direttamente usato per calcolare il minimo comune multiplo di più numeri; lo svantaggio è che non sempre è facile trovare la scomposizione in fattori dei numeri di partenza.

== Minimo comune multiplo tra espressioni algebriche ==

Il minimo comune multiplo può anche essere calcolato tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori ([[monomio|monomi]], [[binomio|binomi]], [[trinomio|trinomi]]...), comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri.

Esempio:
* Calcolo di <math>\operatorname{mcm}(2np,(p+q)^2,4n^2(q+p)^3)</math>.

:Le espressioni sono già indicate come prodotti di espressioni algebriche semplici e allora il loro mcm risulta

:<math>\operatorname{mcm}(2np,(p+q)^2,4n^2(q+p)^3)=\operatorname{mcm}(4,n^2,p,(p+q)^3)=4n^2p(p+q)^3.</math>

* Calcolo di <math>\operatorname{mcm}(x^3,ab(x^2-2x+1),(1-x))</math>.

Si ha che

:<math>x^3=x^3</math>

:<math>ab(x^2-2x+1)=ab(x-1)^2=ab(1-x)^2</math>

:<math>(1-x)=-(x-1).</math>

:E quindi il mcm in questo caso è

:<math>\operatorname{mcm}(x^3,ab(x^2-2x+1),(1-x))=\operatorname{mcm}(ab,x^3(1-x)^2)=\operatorname{mcm}(ab,x^3(x-1)^2)=abx^3(x-1)^2.</math>

== Esempi ==
* Calcolo di <math>\operatorname{mcm}(3, 5, 7)</math>
:i tre numeri sono primi, quindi
:<math>\operatorname{mcm}(3,5,7)=3 \cdot 5\cdot 7=105.</math>

* Calcolo di <math>\operatorname{mcm}(2,25,7,12)</math>:

:i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi

:<math>7=7</math>
:<math>12=3\cdot 2\cdot 2=3\cdot 2^2</math>
:<math>25=5\cdot 5=5^2</math>

:quindi risulta

:<math>\operatorname{mcm}(2,25,7,12)=\operatorname{mcm}(3,4,7,25)=2^2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7=2100.</math>

:i fattori primi <math>2</math> e <math>5</math> sono stati presi con esponente massimo <math>2</math>.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{Cita libro| autore= [[Helmut Hasse]]| titolo=Number Theory (reprint edition)| anno=2002 | editore=Springer-Verlag |città=New York |lingua=inglese|cid=Hasse|isbn=9783540427490}}

== Voci correlate ==
* [[Massimo comun divisore]]
* [[Criteri di divisibilità]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==
* [https://it.vikidia.org/wiki/Minimo_comune_multiplo Minimo comune multiplo] su Vikidia 
* {{Collegamenti esterni}}
* {{cita web|http://www.easycalculation.com/hcf.php|Calcolo del mcm online|lingua=en}}
* {{cita web|1=http://www.algebra.com/algebra/homework/Least-Common-Multiple-Greatest-Common-Denominator/Solvers.html|2=Calcolo di mcm e MCD|lingua=en|accesso=27 febbraio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20070927005721/http://www.algebra.com/algebra/homework/Least-Common-Multiple-Greatest-Common-Denominator/Solvers.html|dataarchivio=27 settembre 2007|urlmorto=sì}}

{{algebra}}
{{Controllo di autorità}}
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[[Categoria:Teoria dei numeri]]