Quaternioni

Pagina derivata da wikipedia:it:Quaternioni versione del 17:51, 16 marzo 2020

Frattale costruito come insieme di Julia, definito con i quaternioni.

In matematica, i quaternioni sono entità introdotte da William Rowan Hamilton nel 1843 come estensioni dei numeri complessi.

Un quaternione è un oggetto formale del tipo

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k}

dove Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c,d} sono numeri reali e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i,\mathbf j,\mathbf k} sono dei simboli che si comportano in modo simile all'unità immaginaria dei numeri complessi.

I quaternioni formano un corpo: soddisfano quindi tutte le proprietà usuali dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del prodotto. Le estensioni dei quaternioni, quali gli ottetti e i sedenioni, non hanno neppure la proprietà associativa.

I quaternioni contengono i numeri complessi Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b\mathbf i} e formano anche uno spazio vettoriale reale di dimensione 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio a 2 dimensioni, cioè un piano). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di algebra di divisione non commutativa.

I quaternioni trovano un'importante applicazione nella modellizzazione delle rotazioni dello spazio: per questo motivo questi sono ampiamente usati nella fisica teorica (nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica) e in settori più applicati, come la computer grafica 3D e la robotica (per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi).

Analogamente all'analisi complessa e allo studio delle funzioni olomorfe di variabile complessa, raccoglie un interesse crescente l'analisi ipercomplessa e lo studio delle funzioni "regolari" di variabile quaternionica.^[1]^[2]

Storia

Sul Broom Bridge c'è ora una lapide che recita:

«Here as he walked by
on the 16th of October 1843
Sir William Rowan Hamilton
in a flash of genius discovered
the fundamental formula for
quaternion multiplication
i² = j² = k² = i j k = −1
& cut it on a stone of this bridge.»

(Mentre qui passeggiava, il 16 ottobre 1843 Sir William Rowan Hamilton, in un lampo d'ispirazione scoprì la formula fondamentale per la moltiplicazione dei quaternioni, e la incise su una pietra di questo ponte.)

I quaternioni furono formalizzati dal matematico irlandese William Rowan Hamilton nel 1843. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i numeri complessi (che possono essere visti come punti su un piano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Dopo aver ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con dimensione 4: i quaternioni. In seguito raccontò di aver fatto questa scoperta nel corso di una passeggiata con sua moglie, quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1.

Eccitato dalla scoperta, incise l'equazione sul lato del vicino ponte Brougham (noto ora come Broom Bridge) a Dublino.

Questa formalizzazione necessitava l'abbandono della commutatività della moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'algebra lineare ed il prodotto fra matrici. Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il prodotto vettoriale e il prodotto scalare negli spazi vettoriali. Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte 'scalare', e le rimanenti tre sono la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, Elementi sui quaternioni aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.

L'uso dei quaternioni suscitò delle controversie. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'algebra lineare e del calcolo vettoriale (sviluppato fra gli altri da Oliver Heaviside e Willard Gibbs), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni (se si escludono gli ottetti in dimensione otto). Una prima versione delle equazioni di Maxwell utilizzava una notazione basata sui quaternioni.

Oggi, i quaternioni vengono utilizzati principalmente nella rappresentazione di rotazioni e direzioni nello spazio tridimensionale. Hanno quindi applicazioni nella computer grafica 3D, nella teoria del controllo, nell'elaborazione dei segnali, nel controllo dell'assetto, in fisica e in astrodinamica. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.

Definizione

Un quaternione è un elemento scrivibile come

a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}

con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b, c } e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d } numeri reali e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i,\mathbf j,\mathbf k } simboli letterali.

Somma e prodotto di due quaternioni sono definiti tenendo conto delle relazioni

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i^2 = \mathbf j^2 = \mathbf k^2 =\mathbf {ijk} = -1,}

che implicano in particolare le relazioni seguenti:

\mathbf {i} \mathbf {j} =\mathbf {k} ,

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf j\mathbf k = \mathbf i, }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf k\mathbf i= \mathbf j, }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbf j\mathbf i=-\mathbf k, }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf k\mathbf j = -\mathbf i, }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i\mathbf k = -\mathbf j. }

I risultati delle moltiplicazioni fra due di questi elementi sono riassunti nella tabella:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \times }	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 }	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i}	$\mathbf {j}$	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf k}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 }	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 }	$\mathbf {i}$	$\mathbf {j}$	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf k}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i }	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i }	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1 }	$\mathbf {k}$	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\mathbf j}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf j }	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf j }	$-\mathbf {k}$	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1 }	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf k }	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf k}	$\mathbf {j}$	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\mathbf i}	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1 }

La somma ed il prodotto di due quaternioni sono calcolate con gli usuali passaggi algebrici, usando le relazioni di moltiplicazione appena descritte. La somma di due quaternioni è quindi data da:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_1+b_1\mathbf i+c_1\mathbf j+d_1\mathbf k) + (a_2+b_2\mathbf i+c_2\mathbf j+d_2\mathbf k) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\mathbf i + (c_1+c_2)\mathbf j + (d_1+d_2)\mathbf k }

mentre il loro prodotto risulta essere il seguente:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_1+b_1\mathbf i+c_1\mathbf j+d_1\mathbf k)(a_2+b_2\mathbf i+c_2\mathbf j+d_2\mathbf k) = }

=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .

I quaternioni contengono in modo naturale i numeri reali (i quaternioni del tipo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = a } , con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=c=d=0 } ) ed i numeri complessi (i quaternioni del tipo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = a +b\mathbf i } , con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c=d=0 } , ma anche del tipo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = a +b\mathbf j } oppure del tipo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = a +b\mathbf k } ).

Esempio

Dati due quaternioni

x=3+\mathbf {i} ,\quad y=5\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k}

,

somma e prodotto sono dati da:

x+y=3+6\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k}

xy=(3+\mathbf {i} )(5\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k} )=15\mathbf {i} +3\mathbf {j} -6\mathbf {k} +5\mathbf {i} ^{2}+\mathbf {ij} -2\mathbf {ik} =15\mathbf {i} +3\mathbf {j} -6\mathbf {k} -5+\mathbf {k} +2\mathbf {j} =-5+15\mathbf {i} +5\mathbf {j} -5\mathbf {k} .

Proprietà basilari

I quaternioni hanno molte caratteristiche proprie dei numeri complessi: anche per i quaternioni, in analogia con i complessi, possono essere definiti concetti come norma e coniugato; ogni quaternione, se diverso da zero, possiede un inverso rispetto al prodotto. Si differenziano però dai numeri complessi per il fatto che il loro prodotto può non essere commutativo.

Prodotto non commutativo

Il prodotto di due quaternioni non è in generale commutativo: lo è solo se entrambi appartengano allo stesso piano complesso. Ad esempio, come si è già visto, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i\mathbf j = \mathbf k } è diverso da Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf j\mathbf i = -\mathbf k } .

Tuttavia, per linearità, si comporta come un prodotto tra polinomi e si può riportare ai 4x4 prodotti fondamentali della tabella di cui sopra.

Coniugato

Il coniugato di un quaternione $q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ è il quaternione Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar q = a-b\mathbf i-c\mathbf j-d\mathbf k,} (a volte indicato anche con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q^*} ).

Il coniugato soddisfa le proprietà seguenti:

{\overline {\overline {q}}}=q,

{\overline {q+q'}}={\overline {q}}+{\overline {q}}',

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline {qq'} = \overline q' \overline q. }

Il coniugato può anche essere espresso da una combinazione lineare di Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q,} con coefficienti contenenti Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k,} nel seguente modo:

{\bar {q}}=-{\frac {q+\mathbf {i} q\mathbf {i} +\mathbf {j} q\mathbf {j} +\mathbf {k} q\mathbf {k} }{2}}.

Norma

La norma di Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q } è il numero reale non negativo

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle |q|= \sqrt{q \bar q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.}

La norma di Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q } è sempre positiva, e nulla soltanto se Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = 0 } . Valgono le relazioni seguenti:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q|^2 = q\bar q,}

|qq'|=|q||q'|.

Inverso

Un quaternione Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q } diverso da zero ha un inverso per la moltiplicazione, dato da

q^{-1}={\frac {\overline {q}}{|q|^{2}}}.

Infatti

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle qq^{-1} = q\frac{\overline q}{|q|^2} = \frac {q\overline q}{|q|^2} = \frac{|q|^2}{|q|^2} = 1 }

e similmente Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q^{-1}q = 1 } . Valgono le proprietà seguenti:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q^{-1}| = \frac 1{|q|}, }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline {q^{-1}} = {\overline q}^{-1},}

(qq')^{-1}={q'}^{-1}q^{-1}.

Struttura algebrica

Con le operazioni di somma e prodotto, l'insieme dei quaternioni, indicato a volte con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb H } , forma un anello non commutativo, più precisamente un corpo.

Con le operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda } , data da

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda (a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k) = \lambda a + \lambda b\mathbf i + \lambda c\mathbf j + \lambda d\mathbf k, }

i quaternioni formano anche uno spazio vettoriale reale di dimensione 4: una base per lo spazio è data dagli elementi Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\} } .

Le due strutture di corpo e di spazio vettoriale sono riassunte dal concetto di algebra di divisione. I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative costruite sui numeri reali aventi dimensione finita.

Struttura metrica

Usando la funzione distanza

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(q,q') = |q-q'|, }

i quaternioni formano uno spazio metrico, isometrico allo spazio Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} ⁴ dotato della usuale metrica euclidea. Le coordinate Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b,c,d) } di un quaternione $q$ lo identificano come elemento di $\mathbb {R} ^{4}$ , e tramite questa identificazione, la norma $|q|$ è semplicemente la norma euclidea.

Con la norma, i quaternioni formano un'algebra di Banach reale.

Quaternioni unitari

Gruppo di Lie

I quaternioni unitari sono i quaternioni di norma 1. Ad esempio, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,\mathbf i,\mathbf j } e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf k } sono unitari. Nell'identificazione con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^4 } , i quaternioni unitari formano una ipersfera quadridimensionale.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^3 = \{(a,b,c,d)\in\R^4\ |\ a^2+b^2+c^2+d^2=1 \}.}

I quaternioni unitari formano un gruppo moltiplicativo rispetto al prodotto. Tale gruppo, a differenza del suo analogo complesso, non è abeliano. Con la struttura di varietà differenziabile data da Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^3 } , esso forma un gruppo di Lie.

Gruppo di rotazioni

Ogni quaternione unitario Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} definisce una rotazione dello spazio Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^3 } nel modo seguente. Osserviamo che si può indicare il quaternione Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k } tramite una notazione scalare-vettore Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=(a,v)} , con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v=(b,c,d)} , e identifichiamo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^3 } con l'insieme dei quaternioni Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=(0,v) } con prima coordinata nulla. La rotazione determinata da Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q } è data dall'operazione di coniugio

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\mapsto qxq^{-1}. }

Si verifica infatti facilmente che se Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q } ha prima coordinata nulla, anche Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle qxq^{-1} } ha prima coordinata nulla: è quindi definita un'azione del gruppo dei quaternioni unitari su Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^3 } . Ogni mappa definita in questo modo è effettivamente una rotazione, poiché preserva la norma:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |qxq^{-1}| = |q||x||q^{-1}| = |q||x||q|^{-1} = |x|. }

I quaternioni unitari sono quindi un utile strumento per descrivere sinteticamente le rotazioni in Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^3} . Ogni rotazione è esprimibile in questo modo, e due quaternioni Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q,q' } definiscono la stessa rotazione se e solo se $q=-q'$ .

Rivestimenti

Associando ad ogni quaternione unitario una rotazione, si è definito una mappa

S^{3}\to SO(3)

dal gruppo dei quaternioni unitari sul gruppo ortogonale speciale delle rotazioni dello spazio tridimensionale. Per quanto appena detto, la mappa è suriettiva, ma non iniettiva: la controimmagine di un punto è data da due punti opposti Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\pm q_0 \} } . In particolare, tale mappa è un rivestimento di grado 2.

Poiché Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^3 } è semplicemente connesso, questo è il rivestimento universale di Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle SO(3) } , che ha quindi come gruppo fondamentale il gruppo ciclico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb Z/_{2\mathbb Z} } con due elementi. Topologicamente, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle SO(3) } è omeomorfo allo spazio proiettivo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb P^3(\R) } .

Sottogruppo finito

Template:Vedi anche Il sottogruppo generato dagli elementi Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\} } è un gruppo finito: ha ordine 8, e viene spesso indicato con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_8 } . I suoi otto elementi sono

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\pm 1, \pm \mathbf i, \pm \mathbf j, \pm \mathbf k\}. }

Il gruppo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_8 } è il più piccolo gruppo non abeliano dopo il gruppo di permutazioni Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_3 } , che ha ordine 6.

Notazioni e rappresentazioni alternative

Notazione scalare/vettore

Il quaternione $q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ può essere descritto anche dalla coppia Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a, v) } , dove Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = (b,c,d) } è un vettore in Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^3 } . Con questa notazione, somma e prodotto possono essere descritti nel modo seguente:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}q_1 + q_2 &=& (a_1 , v_1) + (a_2, v_2) = (a_1+a_2, v_1 + v_2) \\ q_1 \cdot q_2 &=& (a_1 a_2 - v_1 \cdot v_2, a_1 v_2 + a_2 v_1 + v_1 \wedge v_2)\end{matrix}}

dove si usano il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale fra vettori di Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^3 } . Le nozioni di coniugato e norma diventano:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar q = (a ,-v)}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q|^2 = a^2 + |v|^2\,\! }

usando l'usuale norma di un vettore in Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^3 } .

Coppia di numeri complessi

Grazie alla relazione Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf k = \mathbf i\mathbf j = -\mathbf j\mathbf i} , ogni quaternione può essere scritto usando soltanto i simboli Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i } e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf j } nel modo seguente:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k = a+b\mathbf i + c\mathbf j-d\mathbf j\mathbf i = a+b\mathbf i + \mathbf j(c-d\mathbf i).}

Quindi

q=z+\mathbf {j} w,

dove $z=a+b\mathbf {i}$ e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w=c-d\mathbf i } sono due numeri complessi. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono in modo usuale, applicando la relazione

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i\mathbf j = -\mathbf j\mathbf i. }

Per quanto riguarda coniugato e norma, risulta rispettivamente

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar q = (\bar z ,-w),}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q|^2 = |z|^2 + |w|^2.}

Matrici

I quaternioni possono essere espressi tramite matrici Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\times 2 } di numeri complessi, oppure matrici $4\times 4$ di numeri reali.

Matrici Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\times 2 } complesse

Il quaternione Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=z+w\mathbf j } , con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=a+b\mathbf i} e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w=c+d\mathbf i} , può essere rappresentato dalla matrice a coefficienti complessi

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix} z & w \\ -\overline{w} & \,\, \overline{z} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a+b\mathbf i & c+d\mathbf i \\ -c+d\mathbf i & \,\, a-b\mathbf i \end{bmatrix}}

Attraverso questa identificazione, gli elementi Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k } sono rappresentati rispettivamente da:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ \begin{matrix} 1, &0\\ 0, &1\\ \end{matrix}\right], \quad \left[ \begin{matrix} \mathbf i, &0\\ 0, &-\mathbf i\\ \end{matrix}\right], \quad \left[ \begin{matrix} 0, &1\\ -1, &0\\ \end{matrix}\right], \quad \left[ \begin{matrix} 0, &\mathbf i\\ \mathbf i, &0\\ \end{matrix}\right] . }

Indichiamo con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi : \mathbb H \rightarrow \text{Mat}_{n,n}(\mathbb C )} . Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} è un omomorfismo iniettivo di monoidi.
Il quadrato della norma di un quaternione è uguale al determinante della matrice corrispondente.
Il coniugato di un quaternione corrisponde alla coniugata trasposta della matrice corrispondente.
Restringendosi ai quaternioni unitari, questa applicazione induce un isomorfismo di gruppi tra la sfera Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^3\subset \mathbb H} e il gruppo unitario speciale Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{SU}(2)} . Questo gruppo, strettamente collegato alle matrici di Pauli, è usato in meccanica quantistica per rappresentare lo spin.

Matrici Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\times 4 } reali antisimmetriche

Gli elementi Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k } sono rappresentati rispettivamente da:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ \begin{matrix} 1,&0,&0,&0\\ 0,&1,&0,&0\\ 0,&0,&1,&0\\ 0,&0,&0,&1\\ \end{matrix} \right], \quad \left[ \begin{matrix} 0,&1,&0,&0\\ -1,&0,&0,&0\\ 0,&0,&0,&1\\ 0,&0,&-1,&0\\ \end{matrix} \right], \quad \left[ \begin{matrix} 0,&0,&0,&-1\\ 0,&0,&-1,&0\\ 0,&1,&0,&0\\ 1,&0,&0,&0\\ \end{matrix} \right], \quad \left[ \begin{matrix} 0,&0,&-1,&0\\ 0,&0,&0,&1\\ 1,&0,&0,&0\\ 0,&-1,&0,&0\\ \end{matrix} \right]. }

Il quaternione Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k } è quindi rappresentato da

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix} a & b & -d & -c \\ -b & a & -c & d \\ d & c & a & b \\ c & -d & -b & a \end{bmatrix}}

In questa rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla trasposta della matrice.

Equazioni sui quaternioni

La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei polinomi definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q^2+1 = 0 } per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni, date da tutti i

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k,}

con $b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ .

Generalizzazioni

Se Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} è un generico campo e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} sono elementi di Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F,} è possibile definire un'algebra associativa unitaria a quattro dimensioni su Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} usando due generatori Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i} e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf j} e le relazioni Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i^2=a, \mathbf j^2=b} e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf i\mathbf j=-\mathbf j\mathbf i.} Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle matrici Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\times 2} su Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F,} e inoltre sono delle algebre di divisione su Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F.} Sono chiamate algebre di quaternioni.

Note

↑ https://scholar.google.it/scholar?q=quaternionic+regular+functions&hl=it&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart&sa=X&ei=cRAsU_bGKcLV0QXM04C4CQ&ved=0CC0QgQMwAA
↑ Graziano Gentili, Catarina Stoppato & D.C. Struppa (2013) Regular Functions of a Quaternionic Variable, Birkhäuser, ISBN 978-3-642-33870-0

Bibliografia

Hime, Henry William Lovett (1894) The outlines of quaternions Longman Greens.
Hamilton, William Rowan (1899) Elements of quaternions (t.1) . Longman Greens.
Hamilton, William Rowan (1901) Elements of quaternions (t.2) . Longman Greens.
Kelland, Philip and Tait, Peter Guthrie (1882) Introduction to quaternions, with numerous examples McMillan & co. Ltd.
Hardy, A. S. (1891) Elements of quaternions. Ginn.
MacAulay, Alexander (1893) Utility of Quaternions in Physics
Hathaway, Arthur S. (1896) A Primer of Quaternions London, Macmillan & co., ltd.
Joly, Charles Japser (1905) A Manual Of Quaternions. McMillan & co. Ltd.
MacFarlane, Alexander (1906) Vector Analysis and Quaternions New York, J. Wiley & Sons.
Kuipers, Jack (2002). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8

Voci correlate

Collegamenti esterni

Definizione e riferimenti su mathworld.wolfram.com
Quaternion Calculator [Java]
The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton (PDF)

[1] ttps://scholar.google.it/scholar?q=quaternionic+regular+functions&hl=it&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart&sa=X&ei=cRAsU_bGKcLV0QXM04C4CQ&ved=0CC0QgQMwAA

[2] Graziano Gentili, Catarina Stoppato & D.C. Struppa (2013) Regular Functions of a Quaternionic Variable, Birkhäuser, ISBN 978-3-642-33870-0

[1]

[2]