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2020-07-11T16:48:06Z

Mattruffoni: inseriti moto circolare e minimo comune multiplo

== Benvenuto in Minipedia ==

Voci di prova:

* [[Regioni di formazione stellare di Cassiopea]]
* [[Quaternioni]]
* [[Minimo comune multiplo]]
* [[Moto circolare]]

Mini:Moto circolare

2020-07-11T16:43:45Z

Mattruffoni: Creata pagina con "Il '''moto circolare uniforme''' è il movimento di un corpo su una circonferenza che avviene mantenendo una velocità costante cioè percorrendo la circonferenza in tempi sem..."

Il '''moto circolare uniforme''' è il movimento di un corpo su una circonferenza che avviene mantenendo una velocità costante cioè percorrendo la circonferenza in tempi sempre uguali

[[File:Accelerazione circolare.svg|Accelerazione circolare]]

== Esempi==
* Un seggiolino di una giostra panoramica
* La punta delle 3 lancette dell'orologio quella dei minuti, secondi, e ore che viaggiano senza mai fermarsi con la stessa velocità sulla circonferenza.

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
* Scienze Focus,Volume A, Luigi Leopardi, Chiara Cateni, Massimo Temporelli, Francesca Bolognani, Casa editrice: Dea Scuola

==Collegamenti esterni==
* [https://it.wikipedia.org/wiki/Moto_circolare wikipedia Moto circolare uniforme]

{{Portale|Fisica}}
[[Categoria:Fisica]]
[[Categoria:Wikimeup]]

[[wp:Moto circolare uniforme]]

Moto circolare

2020-07-11T16:43:11Z

Mattruffoni: Creata pagina con "{{F|meccanica|giugno 2018}} Immagine:Circular motion.svg|thumb|Rappresentazione bidimensionale di un moto circolare. Si è rappresentati con ''s'' l'ascissa curvilinea, con..."

{{F|meccanica|giugno 2018}}
[[Immagine:Circular motion.svg|thumb|Rappresentazione bidimensionale di un moto circolare. Si è rappresentati con ''s'' l'ascissa curvilinea, con ''R'' il raggio del cerchio e con ''v'' velocità istantanea del punto.]]

Il '''moto circolare''' è uno dei moti semplici studiati dalla [[fisica]] e dalla [[cinematica]], e consiste in un moto di un [[punto materiale]] lungo una [[circonferenza]].

Il moto circolare assume importanza per il fatto che la [[velocità]] e l'[[accelerazione]] variano in funzione del cambiamento di direzione del moto. Tale cambiamento si può misurare comodamente usando le misure angolari per cui le equazioni del moto, introdotte con il [[moto rettilineo]], vanno riviste e rielaborate con misure angolari.

La [[retta]] passante per il centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa prende il nome di [[asse di rotazione]]. Per semplificare l'analisi di questo tipo di moto, infatti, consideriamo che l'osservatore si ponga sull'asse di rotazione. Ciò è possibile per l'[[isotropia]] e l'[[omogeneità]] dello [[Spazio (fisica)|spazio]].

== Il moto in coordinate cartesiane, polari e polari doppie ==
Il sistema più comodo per analizzare un moto circolare fa uso delle [[coordinate polari]]. Infatti nel caso particolare di movimento che avviene su una circonferenza di raggio '''''R''''', il moto in [[coordinate polari]] è determinato dalle coordinate:
:<math>\rho(t)= R \quad \mbox{e} \quad \theta(t),</math>
mentre in [[coordinate cartesiane]] si ha:
:<math>\begin{cases}x(t)= R\cdot\cos\theta(t)\\
y(t)= R\cdot\operatorname{sen}\theta(t)
\end{cases}</math>

che soddisfano la seguente identità (in ogni istante di tempo):
:<math>x^2 + y^2 = R^2</math>
[[File:Moto circolare.svg|thumb|upright=1.6|Rappresentazione tridimensionale di un moto circolare]]
Nel moto circolare si possono definire due diverse tipologie di velocità: la [[velocità angolare]] e la [[velocità tangenziale]].

Per descriverle consideriamo nello spazio tridimensionale, il vettore infinitesimo ''spostamento angolare''
:<math>\mathrm d\vec\theta=\hat{\mathbf z}\cdot \mathrm d\theta</math>
dove <math>\hat{\mathbf z} </math> è un [[versore]] disposto lungo l'asse di rotazione e <math>d \theta </math> la variazione [[infinitesimo|infinitesima]] della variabile angolare <math>\theta</math>.

Sia ora <math>\vec{R}(t)</math> il vettore posizione del punto ''P'' ad ogni istante <math>t</math>, allora lo ''spostamento lineare'' <math>d\vec {R}(t)</math> (ovvero la variazione infinitesima di <math>\vec{R}(t)</math>) del punto ''P'' sull'arco di circonferenza nell'intervallo di tempo (infinitesimo) <math>dt</math> sarà legata allo spostamento angolare <math>d\vec {\theta}</math> dal [[prodotto vettoriale]]:

:<math> \mathrm d\vec{R}(t)=\mathrm d\vec{\theta}\times\vec{R}(t)</math>.

La direzione e il verso risultano corretti per la regola della mano destra, come si vede dalla figura a lato. Il modulo è dato da (si ricordi che l'angolo è infinitesimo):

:<math> |\mathrm d \vec {R}(t)| = |\mathrm d\vec {\theta}| \cdot |\vec {R}(t)| \cdot \operatorname{sen} \left( \frac{\pi}{2} \right) = \mathrm d \theta \cdot R</math>

che corrisponde, per definizione essendo <math>d \theta </math> espresso in [[radiante|radianti]], all'arco di circonferenza sottesa dall'angolo <math> d \theta </math>.

La [[velocità angolare]] è definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore spostamento angolare ed è comunemente indicata con la lettera greca <math>\omega</math> (omega):

:<math>\vec {\omega}(t)= \frac {\mathrm d \vec \theta}{\mathrm dt} = \hat{\mathbf z} \cdot \frac {\mathrm d \theta}{\mathrm dt}</math>

(ricordando che <math>\hat{\mathbf z}</math> è costante) ed è una misura della velocità di variazione dell'angolo formato dal vettore [[posizione]], si misura in [[radiante|radianti]] al [[secondo]] <math>\left [\frac {\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right]</math> ed ha la stessa direzione del vettore spostamento angolare.

La velocità lineare (o tangenziale) si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione <math>\vec R</math>:
:<math>\vec v(t)=\frac {\mathrm d\vec R(t)} {\mathrm dt} </math>
ed è legata alla velocità angolare dalla seguente relazione (per approfondire si veda anche [[derivata di un vettore]]):

:<math> \vec v(t) = \frac {\mathrm d \vec{\theta} \times \vec{R}(t)}{\mathrm dt} = \frac {\mathrm d\vec \theta}{\mathrm dt} \times \vec R(t) = \vec {\omega} \times \vec {R}(t) \,.</math>

Si noti che la costanza della velocità angolare implica la costanza del modulo della velocità.

Se si esegue il [[prodotto scalare]] dei due vettori <math>\vec R(t)</math> e <math>\vec v(t)</math> si ottiene zero per ogni istante di tempo ''t'', e questo dimostra che la [[velocità tangenziale]] è sempre ortogonale al raggio vettore <math>\vec R(t)</math>.

Oltre a queste, si può introdurre la [[velocità areolare]], definita come la derivata, rispetto al tempo, dell'area spazzata dal raggio vettore <math>\vec{R}</math>:

<math> \dot\mathbf{A}=\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\,\vec{v}\times\vec{R}</math>

si misura in metri quadri al secondo <math>\left[\frac{\mathrm m^2}{\mathrm s}\right]</math> ed ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità angolare.

== Accelerazione ==
[[File:Accelerazione circolare.svg|thumb|upright=1.4|Schema accelerazione]]
Derivando rispetto al tempo l'espressione del vettore velocità tangenziale otteniamo l'accelerazione; che ha una componente parallela alla velocità (responsabile della variazione del modulo di questa) e una normale (o radiale): si tratta rispettivamente dell'[[accelerazione tangenziale]] e dell'[[accelerazione centripeta]]:

:<math>\vec a(t) = \frac {\mathrm d}{\mathrm d t} \left [\vec {\omega} \times \vec {R}(t)\right]= \frac {\mathrm d\vec \omega}{\mathrm dt} \times \vec {R}(t) + \vec \omega \times \frac {\mathrm d \vec R(t)} {\mathrm dt}</math>

La prima frazione si chiama [[accelerazione angolare]] di solito indicata con <math>\vec{\dot\omega}_{(t)}</math>, <math>\vec {\alpha}</math> oppure <math>\vec{\varpi}</math>.

Si misura in radianti su secondi quadri <math>\left[ \frac {\mathrm{rad}} {\mathrm{s}^{2}} \right]</math>, fornisce la variazione della velocità angolare ed ha stessa direzione di questa.

Sviluppando la relazione precedente otteniamo (tralasciando le dipendenze dal tempo):

:<math>\vec a(t)=\vec{\varpi}\times\vec{R}+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)=\vec {\varpi}\times\vec{R}-\omega^2\vec{R}=\vec{a}_\tau+\vec{a}_n</math>

dove si vede chiaramente la componente tangenziale che rappresenta la variazione del modulo della velocità lineare e la componente normale o centripeta che rappresenta la variazione della direzione della velocità lineare, diretta sempre verso il centro della circonferenza.

Pertanto possiamo concludere che l'accelerazione ha un componente radiale di modulo:

:<math>|\vec {a_n}|=\omega^2 R={v^2\over R}</math>

e una tangenziale di modulo:

:<math>|\vec {a_\tau}|=R \, \ddot\theta \,.</math>

Può essere utile a questo punto introdurre la [[curvatura]] definita come <math>k=\frac{1}{R}</math>, misurata in <math>m^{-1}</math>. Inserendola nelle formule dell'accelerazione si ha:

:<math>|\vec {a_n}|=v^2 k={\omega^2\over k}\qquad</math> e <math>\qquad|\vec {a_\tau}|=\frac{\ddot\theta}{k}.</math>

Da ciò si deduce che all'aumentare della curvatura, e conseguentemente al diminuire del raggio, prevale la componente normale dell'accelerazione, restringendo la traiettoria. Viceversa, al crescere del raggio, con conseguente riduzione della curvatura, prevale la componente tangenziale che conduce ad un allargamento della traiettoria.

Per questa ragione il [[moto rettilineo]] può essere letto come un moto circolare con accelerazione normale nulla.

Omologamente, derivando la velocità areolare, si ottiene l'[[Velocità areolare|accelerazione areolare]], misurata in metri quadri su secondi quadri <math>\left[\frac{m^2}{s^2}\right]</math>:

<math>\ddot\mathbf{A}=\frac{\mathrm d\dot\mathbf{A}}{\mathrm dt}=\frac{1}{2}\vec{a}_\tau\times\vec{R}</math>

== Moto circolare uniforme ==

Se il moto circolare è uniforme significa che è costante il vettore velocità angolare, cioè si ha velocità lineare costante in modulo.

Integrando la <math>\vec {\omega}(t) \cdot dt = d \vec {\theta}</math> tra i due istanti, l'iniziale <math>t_0</math>, e <math>t</math> corrispondenti ad un angolo iniziale <math>\theta_0</math> e un altro angolo <math>\theta</math>:

:<math>\theta (t) = \theta_0 + \omega t </math>

essendo <math>\omega</math> la [[velocità angolare]] costante.

Ne consegue (dalle equazioni viste alla sezione precedente) che la velocità tangenziale ha modulo costante pari a:

:<math>v(t)={\mathrm d R(t)\over\mathrm d t}=R\cdot\omega</math>

e dal momento che essa vettorialmente varia solo in direzione, segue che <math>|\vec {a_\tau}|=0</math>, dunque l'accelerazione ha solo componente radiale, detta [[accelerazione centripeta]]:

:<math>\vec {a}_n = -\omega^2 R\cdot\hat\mathbf{n}=-\frac{v^2}{R}\cdot\hat\mathbf{n}</math>
:Ad essere costante è anche la velocità areolare:
:<math>\dot\mathbf{A}=\frac{1}{2}R^2\vec{\omega}</math>

== Moto circolare uniformemente accelerato ==
Il moto circolare uniformemente accelerato è il moto più generale ad accelerazione costante in modulo e in inclinazione rispetto alla velocità.
In particolare ciò significa che l'accelerazione angolare è costante. Integrando l'accelerazione angolare <math>\varpi\cdot dt=d\omega</math> tra due istanti di tempo <math>t_0</math> e <math>t</math> corrispondenti alle due velocità angolari iniziale e finale <math>\omega_0</math> e <math>\omega</math>:

<math>\int_{t_0}^{t}\varpi\cdot \mathrm dt=\int_{\omega_0}^{\omega}\mathrm d\omega_{(t)}\,\Rightarrow\,\omega_{(t)}=\omega_0+\varpi t </math>

Integrando la relazione <math>d\theta = \omega \cdot dt</math> tra due istanti di tempo iniziale e finale <math>t_0</math> e <math>t</math> e sostituendo a <math>\omega_{(t)}</math> il valore trovato sopra, possiamo ricavare lo spostamento angolare <math>\theta(t)</math>:

<math>\begin{align}\int_{\theta_0}^{\theta}\mathrm d\theta&=\int_{t_0}^{t}\omega_{(t)}\cdot \mathrm dt\\&=\int_{t_0}^{t}(\omega_0+\varpi\cdot t)\cdot \mathrm dt\\&=\int_{t_0}^{t}\omega_0\cdot \mathrm dt+\int_{t_0}^{t}\varpi\cdot t\cdot \mathrm dt\\&\Rightarrow\theta_{(t)}=\theta_0+\omega_0\cdot t+\frac{1}{2}\varpi\cdot t^2\end{align}</math>

Risulta costante anche l'accelerazione areolare:

<math>\ddot\mathbf{A}=\frac{1}{2}R^2\vec{\varpi}</math>

== Rappresentazione dei vettori posizione, velocità e accelerazione ==

Per una rappresentazione vettoriale delle grandezze cinematiche relative al moto circolare, è opportuno introdurre i [[Tangente (geometria)|versori tangente]] e [[Perpendicolarità|normale]] alla traiettoria, che sono definiti nel modo seguente (il versore normale punta verso l'interno):

:<math>\hat \tau = \begin{pmatrix} - \operatorname{sen} \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix} </math> 
:<math>\hat n = \begin{pmatrix} -\cos \theta \\ - \operatorname{sen} \theta \end{pmatrix} </math>

Tenendo conto delle [[regole di derivazione]], le derivate di questi versori rispetto al tempo sono date da

:<math>\frac {\operatorname d\hat \tau }{\operatorname d t}=\begin{pmatrix} -\cos \theta \\ - \operatorname{sen} \theta \end{pmatrix} = \dot \theta \hat n</math> 
:<math>\frac {\operatorname d\hat n }{\operatorname d t}= \begin{pmatrix} \operatorname{sen} \theta \\ -\cos \theta \end{pmatrix} = - \dot \theta \hat \tau</math> 

Possiamo quindi esprimere i [[vettore (matematica)|vettori]] posizione, velocità e accelerazione usando i versori <math>\hat \tau</math> e <math>\hat n</math>:

* '''Posizione'''. Il vettore posizione è sempre diretto ''radialmente'':
:<math>\vec r= -R \hat n</math>
* '''Velocità'''. Il vettore velocità è sempre diretto ''tangenzialmente'' (la derivata di R rispetto al tempo è nulla)
:<math>\vec v = \frac {\operatorname d\vec r }{\operatorname d t}=R \dot \theta \hat \tau</math>
:La [[velocità radiale]] risulta quindi nulla <math>\Rightarrow v_\rho=\dot\rho=0</math>
:La [[velocità tangenziale]] è : <math>v_\theta = R \dot \theta</math>
:La [[velocità angolare]] è: <math>\dot \theta = \omega</math>
:La [[velocità areolare]] è: <math>\dot A=\frac{1}{2}R^2\omega</math>
*'''Accelerazione'''. Il vettore [[accelerazione]] ha una componente tangente e una normale:
:<math>\vec a = \frac {\operatorname d\vec v }{\operatorname d t}=R \,\ddot \theta \,\hat \tau + R\, \dot \theta^2 \,\hat n</math>
:L'accelerazione radiale, detta [[accelerazione centripeta]] è : <math>a_\rho = R \, \dot \theta^2</math>
: L'accelerazione trasversa, detta [[accelerazione tangenziale]] è : <math>a_\theta = R \,\ddot \theta</math>
: L'[[accelerazione angolare]] è: <math>\ddot\theta=\varpi</math>
: L'[[Velocità areolare|accelerazione areolare]], o areale è: <math>\ddot A=\frac{1}{2}R^2\varpi</math>

Nel moto circolare uniforme l'accelerazione tangenziale è nulla.

Infine si possono scrivere le componenti del vettore velocità in coordinate cartesiane:

:<math>\begin{cases}\dot x = -R \dot \theta \operatorname{sen} \theta = - \dot \theta y\\
\dot y = R \dot \theta \cos\theta = \dot \theta x\end{cases}</math>

Introdotto il ''vettore velocità angolare'', di modulo <math>\dot \theta</math>, con direzione perpendicolare al piano del moto e con verso tale da vedere ruotare il corpo in senso antiorario,

:<math>\vec \omega = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \dot \theta \end{pmatrix}</math>

il vettore velocità può semplicemente essere scritto come:

:<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r </math>

== Voci correlate ==
*[[Moto rettilineo]]
*[[Moto ellittico]]
*[[Moto iperbolico]]
*[[Moto armonico]]
*[[Orbita circolare]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|meccanica}}

[[Categoria:Tipi di moto|Moto circolare]]

Mini:Minimo comune multiplo

2020-07-11T16:26:03Z

Mattruffoni: Creata pagina con "Il '''minimo comune multiplo''' di due o più numeri è il più piccolo dei loro multipli comuni: m.c.m. è l'acronimo di '''minimo comune multiplo.'''..."

Il '''minimo comune multiplo''' di due o più numeri è il più piccolo dei loro multipli comuni: m.c.m. è l'acronimo di '''minimo comune multiplo.'''

==Caratteristiche==
I multipli comuni a due numeri sono infiniti, il più piccolo di essi è l'm.c.m.
* Se due numeri sono uno multiplo dell'altro, il loro m.c.m. è uguale al maggiore di essi.
Per esempio
M(60)=[60,120,180,240,300,360,420...ecc..] 
M(30)=[30,60,90,120,150,180,210...ecc..] 
m.c.m.(60;30)=60
60 è il multiplo di 30, perciò è il minimo comune multiplo dei numeri dati.

* Il m.c.m. di due numeri primi fra loro è il loro prodotto
Per esempio 
M(5)=[5,10,15,20,25,30,35,40,45...60...ecc..] 
M(6)=[6,12,18,24,30,36,42...60...ecc...] 

==Come si calcola==
Prima si scompongono i numeri in fattori primi poi si prendono i fattori comuni e non comuni con l'esponente più grande.

Per esempio 
10=2x5 
6=2x3 
mcm=(10,6)=30

== Come usare l'm.c.m. nelle frazioni ==
Serve per calcolare il denominatore comune di una somma o di una differenza fra frazioni; nell' addizione di più frazioni il denominatore comune è proprio il minimo comune multiplo di tutti i singoli denominatori.

==Bibliografia==
* Contaci!, Bertinetto, Metianen, Paasonen,Voutilainen, 2012, Zanichelli

{{Portale|Matematica}}
[[Categoria:Numeri]]
[[Categoria:Aritmetica]]
[[wp:Minimo comune multiplo]]

Minimo comune multiplo

2020-07-11T16:25:02Z

Mattruffoni: Creata pagina con "In matematica, il '''minimo comune multiplo''' di due numeri interi <math>a</math> e <math>b</math>, indicato con <math>\operatorname{mcm}(a,b)</math>,..."

In [[matematica]], il '''minimo comune multiplo''' di due numeri [[Numero intero|interi]] <math>a</math> e <math>b</math>, indicato con <math>\operatorname{mcm}(a,b)</math>, è il più piccolo numero intero positivo multiplo sia di <math>a</math> sia di <math>b</math>. Nel caso particolare in cui uno tra <math>a</math> o <math>b</math> è uguale a zero, allora si definisce <math>\operatorname{mcm}(a,b)</math> uguale a [[0 (numero)|zero]]<ref>{{cita|Hasse|p. 10|Hasse}}; se <math>a=b=0</math> il minimo comune multiplo non è definito.</ref>. È possibile calcolare il minimo comune multiplo di più di due numeri, sostituendo man mano due dei numeri con il loro comune multiplo e proseguendo fino a che non rimane un solo numero che è il risultato; si può dimostrare che il risultato è lo stesso qualunque sia l'ordine in cui vengono fatte le sostituzioni.

== Calcolo del minimo comune multiplo ==
Per calcolare il minimo comune multiplo, si possono usare vari procedimenti equivalenti.

=== Partendo dal MCD ===
Il minimo comune multiplo è utile quando occorre sommare due o più [[Frazione (matematica)|frazioni]]. La regola per la somma di frazioni richiede infatti di cominciare con il trasformarle in modo che tutti i denominatori siano uguali; a questo punto si possono sommare i numeratori, e usare il valore comune dei denominatori come denominatore. Il più piccolo denominatore che si può usare, detto ''minimo comune denominatore'', è proprio il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo di due numeri <math>a</math> e <math>b</math> diversi da zero può essere calcolato usando il [[massimo comun divisore]] (MCD) di <math>a</math> e <math>b</math> e la formula seguente:

:<math>\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}.</math>

Per esempio:

:<math>\operatorname{mcm}(21,6)
={21\cdot6\over\operatorname{MCD}(21,6)}
={21\cdot 6\over 3}=42.</math>

Per semplificare i conteggi ci si può ricordare che per costruzione il MCD tra due numeri è multiplo di ciascuno di loro; si può pertanto cominciare a dividere uno dei numeri per il massimo comun divisore e poi moltiplicare il risultato per il secondo numero. In questo esempio abbiamo così <math>{{21:3}\cdot 6}={7\cdot 6}=42.</math>. Per calcolare velocemente il minimo comune multiplo si può usare l'[[algoritmo di Euclide]].

=== Con semplificazione e moltiplicazione a croce ===
Una variante del metodo precedente permette di semplificare automaticamente il MCD e di verificare il risultato ottenuto. Se per esempio si vuole trovare trovare il <math>\operatorname{mcm}(12,8)</math>, i passi sono i seguenti.

* Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo: <math>{12 \over 8} = {3 \over 2}.</math>
* Si esegue la "moltiplicazione a croce": <math>12\times 2 = 8\times 3.</math>
* I due prodotti saranno uguali e corrispondono al minimo comune multiplo: <math>12\times 2 = 8\times 3 = 24 </math>.

Il ridurre ai minimi termini la frazione costruita con i due numeri è infatti equivalente a dividere ciascuno di essi per il massimo comun divisore, e la moltiplicazione a croce completa il prodotto del metodo precedente.

=== Usando il teorema fondamentale dell'aritmetica ===
Il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] afferma che ogni intero maggiore di <math>1</math> può essere scritto in un modo unico come prodotto di [[Numero primo|fattori primi]]. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un [[numero composto]].

Per esempio:

:<math>90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 </math>

Il numero composto <math>90</math> è costituito da un elemento uguale al numero primo <math>2</math>, due elementi uguali al numero primo <math>3</math> e un elemento uguale al numero primo <math>5</math>.

Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.

Per esempio: calcolare il <math>\operatorname{mcm}(45, 120, 75)</math>.

:<math>45=3^2 \cdot 5^1 </math>
:<math>120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 </math>
:<math>75=3^1 \cdot 5^2 </math>

Il minimo comune multiplo è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

:<math>\operatorname{mcm}(45,120,75) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800.</math>

Il vantaggio di questo metodo è che può essere direttamente usato per calcolare il minimo comune multiplo di più numeri; lo svantaggio è che non sempre è facile trovare la scomposizione in fattori dei numeri di partenza.

== Minimo comune multiplo tra espressioni algebriche ==

Il minimo comune multiplo può anche essere calcolato tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori ([[monomio|monomi]], [[binomio|binomi]], [[trinomio|trinomi]]...), comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri.

Esempio:
* Calcolo di <math>\operatorname{mcm}(2np,(p+q)^2,4n^2(q+p)^3)</math>.

:Le espressioni sono già indicate come prodotti di espressioni algebriche semplici e allora il loro mcm risulta

:<math>\operatorname{mcm}(2np,(p+q)^2,4n^2(q+p)^3)=\operatorname{mcm}(4,n^2,p,(p+q)^3)=4n^2p(p+q)^3.</math>

* Calcolo di <math>\operatorname{mcm}(x^3,ab(x^2-2x+1),(1-x))</math>.

Si ha che

:<math>x^3=x^3</math>

:<math>ab(x^2-2x+1)=ab(x-1)^2=ab(1-x)^2</math>

:<math>(1-x)=-(x-1).</math>

:E quindi il mcm in questo caso è

:<math>\operatorname{mcm}(x^3,ab(x^2-2x+1),(1-x))=\operatorname{mcm}(ab,x^3(1-x)^2)=\operatorname{mcm}(ab,x^3(x-1)^2)=abx^3(x-1)^2.</math>

== Esempi ==
* Calcolo di <math>\operatorname{mcm}(3, 5, 7)</math>
:i tre numeri sono primi, quindi
:<math>\operatorname{mcm}(3,5,7)=3 \cdot 5\cdot 7=105.</math>

* Calcolo di <math>\operatorname{mcm}(2,25,7,12)</math>:

:i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi

:<math>7=7</math>
:<math>12=3\cdot 2\cdot 2=3\cdot 2^2</math>
:<math>25=5\cdot 5=5^2</math>

:quindi risulta

:<math>\operatorname{mcm}(2,25,7,12)=\operatorname{mcm}(3,4,7,25)=2^2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7=2100.</math>

:i fattori primi <math>2</math> e <math>5</math> sono stati presi con esponente massimo <math>2</math>.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{Cita libro| autore= [[Helmut Hasse]]| titolo=Number Theory (reprint edition)| anno=2002 | editore=Springer-Verlag |città=New York |lingua=inglese|cid=Hasse|isbn=9783540427490}}

== Voci correlate ==
* [[Massimo comun divisore]]
* [[Criteri di divisibilità]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==
* [https://it.vikidia.org/wiki/Minimo_comune_multiplo Minimo comune multiplo] su Vikidia
* {{Collegamenti esterni}}
* {{cita web|http://www.easycalculation.com/hcf.php|Calcolo del mcm online|lingua=en}}
* {{cita web|1=http://www.algebra.com/algebra/homework/Least-Common-Multiple-Greatest-Common-Denominator/Solvers.html|2=Calcolo di mcm e MCD|lingua=en|accesso=27 febbraio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20070927005721/http://www.algebra.com/algebra/homework/Least-Common-Multiple-Greatest-Common-Denominator/Solvers.html|dataarchivio=27 settembre 2007|urlmorto=sì}}

{{algebra}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei numeri]]